Principe de superposition equation différentielle exemple

Écrivez d`abord l`équation caractéristique de cette équation différentielle et résolvez-la. L`un des éléments suivants sont également des solutions à l`équation différentielle. Si vous voyez ce message, cela signifie que nous avons du mal à charger des ressources externes sur notre site Web. Donc, si nous prenons maintenant l`hypothèse que nous avons affaire à une équation différentielle homogène linéaire, deuxième ordre, nous savons maintenant que (eqref{EQ: EQ3} ) sera sa solution générale. Puisque nous avons deux constantes, il est logique, nous l`espérons, que nous aurons besoin de deux équations, ou des conditions, pour les trouver. C`est plus facile qu`il pourrait initialement regarder. La question suivante que nous pouvons vous poser est de savoir comment trouver les constantes (c _ {1} ) et (c _ {2} ). Ceux-ci sont généralement appelés valeurs limites et ne sont pas vraiment l`objet de ce cours, donc nous ne travaillerons pas avec eux ici. Cela signifie que nous avons besoin de la dérivée de la solution. Les deux racines sont 3 et-3.

Si vous êtes derrière un filtre Web, assurez-vous que les domaines *. Si nous supposons en outre deuxième ordre et une autre condition (que nous allons donner dans une seconde), nous pouvons aller un peu plus loin. Nous pouvons obtenir quelques solutions ici simplement par l`inspection. Comme avec les équations différentielles de premier ordre, celles-ci seront appelées conditions initiales. Dans le cas où nous supposons des coefficients constants, nous utiliserons l`équation différentielle suivante. Une des Premières fonctions que je peux penser à qui revient à lui-même après deux dérivés est une fonction exponentielle et avec des exposants appropriés le 9 sera pris en charge ainsi. Nous donnons une brève introduction aux valeurs limites dans un chapitre ultérieur si vous êtes intéressé à voir comment ils fonctionnent et certains des problèmes qui se posent lorsque vous travaillez avec des valeurs limites. Au départ, nous nous faciliterons la vie en examinant les équations différentielles avec (g (t) = 0 ). Vous remarquerez que nous avons négligé de mentionner si les deux solutions répertoriées dans (eqref{EQ: EQ7} ) sont en fait «assez agréables» pour former la solution générale à (eqref{EQ: EQ4} ). Les racines auront trois formes possibles.

C`était intentionnel. L`exemple nous donnera également des indices sur la façon d`aller sur la résolution de ces en général. Donc, qu`entendons-nous par “assez gentil”? OK, alors comment pouvons-nous utiliser ce pour trouver des solutions à un coefficient linéaire, constante, équation différentielle homogène de second ordre? Cet exemple nous amène à un fait très important que nous utiliserons dans pratiquement tous les problèmes de ce chapitre. Nous avons besoin de fonctions dont la deuxième dérivée est 9 fois la fonction d`origine. L`équation différentielle la plus générale du second ordre est dans la forme. Ces deux fonctions ne sont cependant pas les seules solutions à l`équation différentielle. Cela fonctionnera pour toute équation différentielle homogène linéaire. Les trois prochaines sections se pencher sur chacun d`eux dans une certaine profondeur, y compris en donnant des formulaires pour la solution qui sera «assez agréable» pour obtenir une solution générale. Vous serez en mesure de le vérifier pour vous-même dans quelques sections. Une fois que nous avons que nous pouvons ajouter sur les constantes à notre contenu de coeurs. Cependant, la plupart du temps, nous allons utiliser (eqref{EQ: EQ2} ) car il peut être assez difficile de résoudre les équations différentielles de coefficient non constant de deuxième ordre. Jusqu`à ce point, nous avons seulement examiné une équation différentielle unique et nous avons obtenu sa solution par l`inspection.

C`est la même équation différentielle que nous avons examinée dans le premier exemple. L`idée importante ici est d`obtenir la fonction exponentielle. Donc, nous aimerions une méthode pour arriver aux deux solutions dont nous avons besoin afin de former une solution générale qui fonctionnera pour tout coefficient linéaire, constante, équation différentielle homogène de second ordre. Comme nous l`avons noté précédemment l`équation caractéristique est quadratique et aura donc deux racines, (r_ {1} ) et (r_ {2} ). Maintenant, tout ce que nous devons faire est d`appliquer les conditions initiales. À ce stade, s`il vous plaît juste croire cela. Pour voir si nous sommes corrects tout ce que nous devons faire est de brancher ce dans l`équation différentielle et voir ce qui se passe. Écrivez d`abord l`équation caractéristique, (eqref{EQ: EQ6} ), pour l`équation différentielle, (eqref{EQ: EQ4} ).